O que é derivada da função composta?

Derivada da Função Composta: Entendo a Regra da Cadeia

Em matemática, a derivada é uma ferramenta fundamental para entender a taxa de variação de uma função. Quando se trata de funções compostas, que são funções dentro de funções, a derivada é calculada usando a regra da cadeia.

Compreendendo Funções Compostas

Uma função composta é formada quando o resultado de uma função (chamada função interna) é inserido como entrada em outra função (chamada função externa). Podemos representar uma função composta como f(g(x)), onde:

• f é a função externa
• g é a função interna
• x é a variável independente

Regra da Cadeia

Para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia, que afirma:

*d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)**

onde:

• f’ é a derivada da função externa (f)
• g’ é a derivada da função interna (g)

Passos para Aplicar a Regra da Cadeia

Para aplicar a regra da cadeia, siga estes passos:

1. Derivar a função externa: Calcule a derivada da função externa (f(x)) mantendo a função interna (g(x)) intacta.
2. Multiplicar pelo derivado da função interna: Multiplique o resultado do passo 1 pela derivada da função interna (g'(x)).

Exemplo

Vamos considerar a função composta f(g(x)) = (x² + 1)³, onde:

• f(x) = (x² + 1)³ (função externa)
• g(x) = x² + 1 (função interna)

Usando a regra da cadeia:

• f'(x) = 3(x² + 1)² (derivada da função externa)
• g'(x) = 2x (derivada da função interna)

Então, a derivada da função composta é:

d/dx (x² + 1)³ = f'(g(x)) g'(x) = 3(x² + 1)² 2x

Conclusão

A regra da cadeia é uma ferramenta poderosa para derivar funções compostas. Ao separar a função em suas partes componentes e derivar cada parte separadamente, ela nos permite determinar a taxa de variação da função composta. Compreender a regra da cadeia é essencial para o cálculo e para entender como as funções variam em relação às suas variáveis independentes.